381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

75 Введем в рассмотрение две вспомогательные функции : 1 ( , ) ( )cos ( ) F x f x d +∞ −∞ ω = θ ω − θ θ ∫ ; 2 ( , ) ( )sin ( ) F x f x d +∞ −∞ ω = θ ω − θ θ ∫ . Первая является четной 1 1 ( , ) ( , ) F x F x −ω = ω , а вторая нечет - ной 2 2 ( , ) ( , ) F x F x −ω = − ω относительно переменной ω в силу свойств тригонометрических функций . Воспользуемся свойствами определенного интеграла при интегрировании функции по симмет - ричному промежутку : • если ( ) f x – четная ( ) ( ) 0 2 a a a f x f x dx − = ∫ ∫ ; (58) • если ( ) f x – нечетная ( ) 0 a a f x − = ∫ . (59) С учетом введенных обозначений и соотношений (58) – (59) со - отношение (57) принимает вид : 1 2 1 ( ) ( , ) ( , ) 2 2 i f x F x d F x d +∞ +∞ −∞ −∞ = ω ω + ω ω = π π ∫ ∫ 1 0 четная нечетная 1 2 1 0 0 2 ( ) 1 1 1 ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 2 F d F d F d F d +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ = ω ω = ω ω+ ω ω = ⋅ ω ω ⇒ π π π ∫ ∫ ∫ ∫