381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

73 3) ( ) f x абсолютно - интегрируема на всей числовой оси Ох : ( ) , 0, const f x dx M M M +∞ −∞ ≤ ∃ > − ∫ , то функция представима интегралом Фурье (54) и он при этом ра - вен значению ( ) f x в каждой ее точке непрерывности , а в точках разрыва интеграл Фурье равен 0 0 ( 0) ( 0) 2 f x f x − + + . Замечание . Первое интегрирование в формуле (54) выполня - ется по переменной θ , а второе по – ω . Переставлять порядок ин - тегрирования нельзя . Преобразуем соотношение (54): 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 i x i i i x f x f e e d d f e d e d +∞ +∞ +∞ +∞ ω − ωθ − ωθ ω −∞ −∞ −∞ −∞     = θ θ ω = θ θ ω     π π     ∫ ∫ ∫ ∫ , что равносильно двум равенствам : 1 ( ) ( ) , 2 i x f x S e d +∞ ω −∞ = ω ω π ∫ где S( ) ( ) i f e d +∞ − ωθ −∞ ω = θ θ ∫ . Запишем последние два соотношения в виде ( ) ( ) i x S f x e dx +∞ − ω −∞ ω = ∫ ; (55) 1 ( ) ( ) 2 i x f x S e d +∞ ω −∞ = ω ω π ∫ . (56) Преобразования , определяемые формулами (55) и (56), назы - ваются интегральными преобразованиями Фурье в комплексной форме , причем соотношение (55) называется прямым преобразова - нием Фурье в комплексной форме , а соотношение (56) обратным преобразованием Фурье в комплексной форме .