381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

72 max 0 1 ( ) lim ( , ) 2 k k k k f x F x +∞ ∆ω → =−∞ ⇒ = ω ∆ω π ∑ . (53) Сумма (53) очень похожа на интегральную сумму функции ( , ) F x ω аргумента , ( ) ω − ∞ < ω < +∞ , тогда max 0 1 1 ( ) lim ( , ) ( , ) 2 2 k k k k f x F x F x d +∞ +∞ ∆ω → =−∞ −∞ = ω ∆ω = ω ω ⇒ π π ∑ ∫ ( ) 1 ( ) ( , ) ( ) 2 i x f x F x d f e d d +∞ +∞ +∞ ω −θ −∞ −∞ −∞   ⇒ = ω ω = θ θ ω   π   ∫ ∫ ∫ . Естественно , эти рассуждения не строгие в силу того , что по - лучаемые интегралы несобственные и встает вопрос об их сходи - мости . Однако они позволяют увидеть , во что переходит ряд Фурье при увеличении периода функции до бесконечности . Заметим , что в подробных курсах математического анализа строго доказывается , что в пределе при T → +∞ равенство (52) переходит в следующее равенство : ( ) 1 ( ) ( ) 2 i x f x f e d d +∞ +∞ ω −θ −∞ −∞   = θ θ ω   π   ∫ ∫ , (54) которое называется интегральной формулой Фурье в комплексной форме , а его правая часть называется интегралом Фурье для функции ( ) f x . Достаточные условия , при которых существует представление (54), дает интегральная теорема Фурье . Достаточные условия представления функции интегра - лом Фурье . Интегральная теорема Фурье . Если функция ( ) f x удовле - творяет трем условиям : 1) ( ) f x задана на всей числовой оси ; 2) на любом конечном отрезке числовой оси Ох функция ( ) f x удовлетворяет условиям теоремы Дирихле ;