381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

71 где коэффициенты ряда k c : 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) T T ik x ik k T T c f x e dx f e d T T = − ω − ωθ − =− − = = θ θ ⇒ ∫ ∫ ℓ ℓ 2 2 1 ( ) ( ) T ik ik x k T f x f e d e T +∞ − ωθ ω =−∞ −     = θ θ       ∑ ∫ . (51) Введем вспомогательное обозначение 2 k k k T π ω = ω = . Тогда 1 2 2 2 2 ( 1) ( 1 ) k k k k k k k T T T T + π π π π ∆ω = ω − ω = + − = + − = 1 2 k T ∆ω ⇒ = π . С учетом введенного обозначения имеем : 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 k k T T i i x ik ik x k k k k T T f x f e d e f e e d +∞ +∞ − ω θ ω − ωθ ω =−∞ =−∞ − −     ∆ω     = θ θ = θ θ ∆ω     π π         ∑ ∑ ∫ ∫ ; 2 ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 k T i x k k T f x f e d +∞ ω −θ =−∞ −     = θ θ ∆ω   π     ∑ ∫ . (52) Чтобы найти представление ( ) f x на всей числовой оси Ох в выражении (52), следует перейти к пределу при T → +∞ , то - гда 2 0 k T π ∆ω = → . Если обозначить ( ) ( , ) ( ) , i x F x f e d +∞ ω −θ −∞ ω = θ θ ∫ ( ) − ∞ < ω < +∞ , то : 2 ( ) 2 1 ( ) lim ( ) 2 k T i x k T k T f x f e d +∞ ω −θ →+∞ =−∞ −         = θ θ ∆ω ⇒     π         ∑ ∫