381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

70 Интеграл Фурье в комплексной форме как предельная форма ряда Фурье . Преобразование Фурье в комплексной форме Ряд Фурье служит для представления периодических функ - ций , заданных на конечном отрезке числовой оси , при этом функ - ция должна являться « достаточно хорошей », а именно на этом промежутке удовлетворять условиям Дирихле . Положение дел рез - ко изменяется , если отрезок разложения функции , неограниченно расширяясь в обе стороны , охватывает всю вещественную прямую и превращается в бесконечный промежуток , при этом функция становится непериодической . Естественно предположить , что при этом вместо ряда Фурье придется рассматривать некоторый инте - грал . Этот интеграл называется интегралом Фурье . Очевидно , для представления функции интегралом Фурье в бесконечном проме - жутке эта функция должна удовлетворять некоторым условиям , подобным условиям Дирихле , а кроме того , и еще некоторым до - полнительным условиям , необходимым для сходимости несобст - венных интегралов , возникающих при этом . Переходим к рассмот - рению задачи о представлении непериодической функции , заданной на всей числовой оси Ох . Такие непериодические функции назы - вают часто в приложениях апериодическими . Если вещественная непериодическая функция ( ) f x задана на всей числовой оси Ох и удовлетворяет на каждом конечном отрезке [ ] , − ℓ ℓ условиям Дирихле , то , продолжив ее периодически с периодом 2 T = ℓ , взяв α∈ ℝ равным 2 T α = − = − ℓ , ее можно представить интегралом Фурье на отрезке [ ] , − ℓ ℓ в комплексной форме (14) – (15): 2 ( ) , , 2 , ik x k k f x c e T T +∞ ω =−∞ π = ω = = ∑ ℓ (50)