381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

46 Преобразуем выражение , стоящее под знаком суммы в ряде Фурье в вещественной форме (12): 2 2 2 2 2 2 cos sin cos sin . k k k k k k k k k k a k x b k x a b a b k x k x a b a b ω + ω =     = + ω + ω   + +   (33) ϕ ∈ (– π , π ] Рис . 11 Согласно следствию 1, существует такой угол ( , ] k ϕ ∈ −π π , что 2 2 2 2 cos ; sin k k k k k k k k a b a b a b ϕ = ϕ = + + , который можно найти по формулам (30) или (31). Следовательно , соотношение (33), ис - пользуя формулу тригонометрии cos( ) cos cos α − β = α β + sin sin + α β , можно записать в следующем виде : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 cos sin cos cos sin sin cos cos , k k k k k k k k k k k k k k k k a k x b k x a b k x k x A a b a b k x A x k x ω + ω = + ϕ ω + ϕ ω =   = + = + ω − ϕ = = ω − ϕ   ω = ω   известном в разнообразных приложениях как гармоническое коле - бание ( гармоника ) с амплитудой k A , частотой k ω и фазой k ϕ . Таким образом , разложение периодической функции в ряд Фурье (12) эквивалентно представлению ее в виде бесконечной суммы гармоник :