381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

44 Доказаны формулы (29). Найдем тангенс угла в прямоуголь - ном треугольнике ABC ∆ : tg arctg arctg . b b b a a a − α = ⇒ α = ⇒ ϕ = α − π = − π − Последнее соотношение доказывает формулы (30) для чет - верти . Теорема 1 доказана . ∆ Замечание . Теорема 1 формулировалась для точки ( , ) a b , ле - жащей в координатных углах . Если точка ( , ) a b лежит на коорди - натных осях , т . е . хотя бы одна из координат обращается в ноль , соотношения (29) остаются справедливыми , но вместо формулы (30) имеет место другое соотношение , определяющее угол ϕ : 0 , если 0, 0; , если 0, 0; 2 , если 0, 0; , если 0, 0. 2 a b a b a b a b ≥ =   π = >  ϕ =  π < =  π  − = <  (31) ∇ Действительно , если 0 a ≥ , 0 b = , то 0 ϕ = и , следовательно , cos 1 ϕ = , sin 0 ϕ = . Это равносильно соотношениям (29), так как 2 2 2 2 cos 1; | | 0 a a a a a a a b a ϕ = = = = = + + 2 2 2 2 0 sin 0. 0 b a b a ϕ = = = + + Если 0 a = , 0 b > , то 2 π ϕ = и , следовательно , cos 0 ϕ = , sin 1 ϕ = . Это равносильно соотношениям (29), так как :