381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

42 Пусть точка ( , ) IV a b ∈ лежит в четвертой четверти ( рис . 9, б ). Обозначим через α угол BAC ∠ в прямоугольном треугольнике ABC ∆ . Пусть , 0, α = −ϕ ϕ < т . е . угол ϕ отсчитывается по часовой стрелке от оси Ox ( рис . 9, б ). Тогда в прямоугольном треуголь - нике ABC ∆ длины катетов равны : | | , | | AB a BC b = = − , а гипо - тенуза 2 2 | | AC a b = + . Следовательно , 2 2 cos , a a b α = + 2 2 sin b a b − α = + и , принимая во внимание четность функции коси - нус и нечетность функции синус , имеем : 2 2 cos cos( ) cos a a b α = −ϕ = ϕ = + ; 2 2 2 2 sin sin( ) sin sin . b b a b a b − α = −ϕ = − ϕ = ⇒ ϕ = + + Доказали справедливость соотношений (29) для четверти . Кроме того , tg tg( ) tg arctg b b b b a a a a − − α = ⇒ −ϕ = ⇒ ϕ = ⇒ ϕ = , что доказывает (30). Проведем аналогичные рассуждения для четверти ( рис . 10, а ). Рис . 10