381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

41 Связь вещественной формы ряда Фурье с гармоническими колебаниями Теорема 1. Для двух произвольных действительных чисел , , 0, 0 a b a b ∈ ≠ ≠ ℝ существует такой угол ϕ , что 2 2 2 2 cos ; sin a b a b a b ϕ = ϕ = + + , (29) который может быть найден по формуле arctg , если ( , ) четверти I, IV, т . е . 0, ; arctg , если ( , ) четверти II, т . е . 0, 0; arctg , если ( , ) четверти III, т . е . 0, 0. b a b a b a b a b a b a b a b a b a  ∈ > ∀   ϕ = + π ∈ < >    − π ∈ < <  (30) ∇ Докажем соотношения (29), (30) для первого координат - ного угла . Пусть точка ( , ) a b I ∈ лежит в четверти ( рис . 9, а ). ( ϕ > 0)  AC  = 2 2 a b + ( ϕ < 0) а б Рис . 9 Тогда из соотношений углов в прямоугольном треугольнике ABC ∆ имеем : 2 2 2 2 cos , sin , где a b BAC a b a b ϕ = ϕ = ϕ = ∠ + + , tg arctg b a b a ϕ = ⇒ ϕ = .