381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

34 ( ) ( ) ( ) , ,0 ; 2 , 0, . 2 T g x x F x T f x x    ∈ −       =     ∈       Функция ( ) F x задана на отрезке , 2 2 T T   −     и удовлетворяет условиям Дирихле . Запишем для ( ) F x ее коэффициенты Фурье в вещественной форме (13): ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 cos 0,1,2,... ; 2 sin 1,2,... T k T T k T a F x k xdx k T b F x k xdx k T − −   = ω =      = ω =   ∫ ∫ (27) и ряд Фурье (12): ( ) ( ) 0 1 cos sin 2 k k k a F x a k x b k x ∞ = = + ω + ω ∑ . (28) Ряд (28) сходится на 0, 2 T       к ( ) f x в смысле теоремы Ди - рихле , что и требовалось доказать . Но на ,0 2 T   −     тот же ряд (28) сходится к функции ( ) g x . Продолжение ( ) g x , вообще говоря , произвольно , лишь бы были выполнены условия Дирихле . Таких продолжений и , следовательно , рядов (28) можно построить сколь - ко угодно много .