381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

32 Получаем по формуле (25): ( ) { } ( ) 2 2 2 0 0 4 4 2 sin sin( 1 ) 1 2 T k T b f x k xdx f x k x dx T π = π = ω = = ⋅ ⋅ = ω = π ∫ ∫ ( ) ( ) 0 0 0 2 2 2 2 sin sin cos ( cos 1) kxdx kxd kx kx k k k k π π π α α α = α = = − = − π + = π π π π ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 cos 1 1 1 1 1 cos0 1 k k k k k k   α α π = −     = = − − + = − −       π π =   . Ряд Фурье записывается в виде (26): ( ) ( ) 1 1 1 1 2 sin sin k k k k f x b k x kx k ∞ ∞ = = − − α = ω = = π ∑ ∑ 2 2sin 2sin3 2sin5 ... 1 3 5 x x x α   = + + +   π   ( ) 1 sin 2 1 4 ( ) 2 1 k k x f x k ∞ = − α ⇒ = π − ∑ . Замечание . При нахождении коэффициентов , 1,2,3,... k b k = можно было использовать формулу понижения степени 2 sin x = 1 cos2 2 x −= : 2 2 4 1 cos 4 ( cos 1) sin . 2 2 k k k b k k k k α α − π α π = − π + = = π π π Тогда эквивалентная запись ряда Фурье имеет вид ( ) 2 1 1 4 1 sin sin sin 2 k k k k f x b k x kx k ∞ ∞ = = α π = ω = ⇒ π ∑ ∑ ( ) 2 1 4 1 sin sin . 2 k k f x kx k ∞ = α π ⇒ = π ∑