381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

30 ( ) 2 2 0 0 0 0 4 4 2 . 2 2 T x a f x dx xdx T π π = = = = π π π ∫ ∫ Ряд Фурье для четной функции строим по формуле (23): ( ) ( ) ( ) 0 0 2 1 1 2 1 ( 1) 1 cos 2 cos 2 2 2 ( 1) 1 k k k k k k kx a a f x a k x k a k ∞ ∞ = = ω=     − − =π π   = + ω = = + =   π   = − −   π   ∑ ∑ 2 2 2 2 cos3 cos5 cos7 2 cos 0 2 0 2 0 2 ... 2 3 5 7 x x x x π   = + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + =   π   2 2 2 4 cos3 cos5 cos7 cos ... 2 3 5 7 x x x x π   = − + + + + ⇒   π   ( ) ( ) ( ) 2 1 cos 2 1 4 . 2 2 1 k k x f x k ∞ = − π ⇒ = − π − ∑ Замечание . При нахождении коэффициентов , 1,2,3,... k a k = можно было использовать формулу понижения степени 2 sin x = 1 cos2 2 x −= : ( ) 2 2 2 2 4 1 cos 4 cos 1 sin 2 2 k k k a k k k k − π π = π − = − = − π π π . Тогда ряд Фурье можно записать в эквивалентной форме : ( ) 0 1 2 1 cos 4 sin 2 2 k k k a f x a k x k a k ∞ = ω =     = + ω = =π   = −   π   ∑ 2 1 4 cos sin 2 2 k kx k k ∞ = π π = − ⇒ π ∑ ( ) 2 1 4 cos sin . 2 2 k kx k f x k ∞ = π π = − π ∑