381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

29 Рис . 6 Условия Дирихле для функции ( ) x ϕ выполнены , следова - тельно , она разлагается в ряд Фурье . Согласно (1) находим круго - вую частоту 2 2 1. 2 T π π ω = = = π Функция ( ) x ϕ – четная , следова - тельно , все коэффициенты 0 k b = , согласно (22). Коэффициенты , 0, 1, 2, 3, ... k a k = вычисляем по формулам (21), применяя формулу интегрирования по частям : ( ) 2 0 0 4 4 cos cos 2 sin cos T k udv uv vdu a f x k xdx x kxdx x u dx du T kx dv kxdx v k π   = −     = ω = = = ⇒ = =   π   = ⇒ =     ∫ ∫ ∫ ∫ { } ( ) 2 0 0 0 2 2 2 sin 0 sin sin 0 sin sin0 0 k x kx kxdx kxdx kx k k k π π π π = = − = = − = = π π π ∫ ∫ ( ) 2 2 0 2 2 1, если четное cos cos 1 cos ( 1) 1, если нечетное k k kx k k k k k π −     = = π− = π= = − =     − − π π     ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 0, если четное , 2 ( 1) 1 2 2 1 1 ( 2), если нечетное ; k k k k k k k  − = −  π = − − =  π  − − = ⋅ − − π π 