381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

27 Запишем ряды Фурье для четной и нечетной функций : а ) функция ( ) f x – четная периодическая с периодом T или четная функция , заданная на отрезке , 2 2 T T   −     , длина которого рав - на T . Функция cos k x ω является четной , а функция sin k x ω – нечетной . Тогда функция ( ) cos f x k x ω будет четной , а функция ( ) sin f x k x ω – нечетной . Коэффициенты вещественной формы ря - да Фурье найдем по формулам (13). Полагая в них 2 T α = − , полу - чаем : ( ) ( ) 2 2 0 2 2 4 cos cos T T k T a f x k xdx f x k xdx T T − = ω = ω ∫ ∫ ; (21) ( ) 2 2 2 sin 0, 1,2,3,... T k T b f x k xdx k T − = ω = = ∫ (22) В результате ряд Фурье для четной функции получается в следующем виде : ( ) 0 1 cos 2 k k a f x a k x ∞ = = + ω ∑ ; (23) б ) функция ( ) f x – нечетная периодическая с периодом T или нечетная функция , заданная на отрезке , 2 2 T T   −     . В этом случае ( ) cos f x k x ω – нечетная , а ( ) sin f x k x ω – четная функция .