381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

17 Рис . 3 Итак , функция ( ) x ϕ – периодическая с периодом T и удов - летворяет условиям Дирихле . Вычислим ее коэффициенты Фурье по формулам (13). Учтем при этом , что при [ ] , x T ∈ α α + имеем ( ) ( ) x f x ϕ ≡ . Получаем ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 cos cos 0,1,2,... ; 2 2 sin sin 1,2,... . T T k T T k a x k xdx f x k xdx k T T b x k xx f x k xdx k T T α+ α+ α α α+ α+ α α  = ϕ ω = ω =     = ϕ ω = ω =   ∫ ∫ ∫ ∫ (16) Замечание . Вместо отрезка интегрирования [ ] , T α α + можно взять отрезок [ ] 0, T или [ ] , , T β β + ∀β∈ ℝ , что не влияет на ре - зультат ( см . по этому поводу свойство 5) периодической функции ). Вычислив коэффициенты , k k a b по формулам (16), запишем ряд Фурье для функции ( ) x ϕ : ( ) 0 1 ( ) ~ cos sin 2 n k k k a x a k x b k x = ϕ + ω + ω ∑ . (17) Ряд (17) сходится на всей оси Ox к функции ( ) x ϕ в смысле теоремы Дирихле и , следовательно , к ( ) f x на [ ] , T α α + . Это зна -