381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

18 чит , что во всех внутренних точках отрезка [ ] , T α α + , в которых функция ( ) f x непрерывна , сумма ряда (17) ( ) f x , а в точках раз - рыва первого рода сумма ряда (17) равна ( ) ( ) 0 0 2 f x f x − + + . Установим , чему равна сумма ряда (17) в концах отрезка [ ] , T α α + , так как здесь могут иметь место два случая . Если в точках и T α α + будет ( ) ( ) f f T α = α + ( рис . 3, а ), то все точки вида x nT = α + , где 0, 1, 2, ..., n = ± ± суть точки непре - рывности функции ( ) x ϕ и сумма ряда в этих точках по теореме Дирихле равна ( ) f x . Если же ( ) ( ) f f T α ≠ α + ( рис . 3, б ), то точки x nT = α + суть точки разрыва первого рода и сумма ряда в этих точках равна ( ) ( ) 2 f f T α + α + . (18) Таким образом , ряд (17) с коэффициентами (18) на интервале ( ) , T α α + имеет своей суммой функцию ( ) f x . На концах этого интервала сумма ряда равна ( ) ( ) 2 f f T α + α + , при этом , если ( ) ( ) f f T α = α + , то величина (18) равна ( ) f α . Поставленная в начале данного разд . 6 задача решена . Отметим еще раз , что ряд Фурье для функции ( ) f x , задан - ный на [ ] , T α α + , является рядом Фурье для функции ( ) x ϕ , кото - рая получена из функции ( ) f x периодическим продолжением ее на всю числовую ось Ox . Замечание . Отметим , что комплексную форму ряда Фурье для функции ( ) f x , заданной на отрезке [ ] , T α α + длины T и удов -