Математический анализ. Определенный интеграл и его приложения

Тогда xi - хо = Axi, Х2 - xi = Лхг, ... ,Xn - Xn-i = Axn; Ha каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции. [хо, xi] ^ mi, Mi; [xi, хг] ^ т г , Мг; ... [xn-i, x j ^ mn, Mn. Составим суммы: П S_n = miAxi + m2Ax2 + ... +mnAxn = ^ i=\ n S n — MiAxi + M2AX2 + ... + MnAxn = -Ax. i=l Сумма ^ называется нижней интегральной суммой, а сумма S - верхней интегральной суммой. Так как nii < Mi, то ^ < -S* n, а m(b - а ) < ^ п < S п< М(Ь - а) Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку Xj*, i = 1,п: Хо < Xi < XI, XI < x | < Х2, . . . , Xn-l < x^ < Xn. Найдем значения функции в этих точках и составим инте­ гральную сумму для функции f(x) на отрезке [а, Ь]: Sn = f(Xi)Axi + f(x|)Ax2 + ... + f(x^)Axn = 'Zf=if(.x*)AXi. Тогда можно записать: ШгАх, <f(xl)Axi <МгЛхг Следовательно, i:f=irnjAXj < 'Zf=if(x;)AXi < AXj , то есть Геометрически это представляется следующим образом: гра­ фик функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу - вписанной ломаной. Обозначим тахАхг - наибольший отрезок разбиения, а minAx, - наименьший. Если maxAxt —^ О, то число отрезков разбиения отрезка [а, Ь] стремится к бесконечности. 7