Математический анализ. Определенный интеграл и его приложения

Несобственные интегралы от неограниченных функции. Рассмотрим теперь функцию f(x), заданную в конечном про­ межутке [а,Ь), но не ограниченную на этом промежутке. Предполо­ жим, что функция f(x) ограничена и интегрируема на любом отрезке [а, b - 5], где 5 > О, но не ограничена на интервале (Ь - 5, Ь). Точка b в этом случае называется особой точкой. Несобственным интегралом функции f(x) в промежутке от а до b~S b называется предел интеграла / (x)dxnpn 5 ^ 0 (конечный или бесконечный): f(x)dx = Ит f(x)dx . (1) Если предел (1) конечен, то говорят, что несобственный инте­ грал сходится, а функцию f(x) называют интегрируемой в промежут­ ке [а,Ь). Если предел (1) бесконечен или не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится. Аналогично, для функции f(x), определенной и интегрируемой в промежутке [а + 5, Ь] и неограниченной на интервале (а, а + 5) определяется несобственный интеграл f(x)dx = Ит j^^^f(x)dx . (2) Здесь точка а - особая точка функции f(x) . Возможен случай, когда особая точка расположена внутри от­ резка [а, Ь]. Пусть особая точка с расположена внутри отрезка [а, Ь], то есть а < с < Ь. Функция / ( х ) не ограничена в окрестности точки с, но ограничена и интегрируема на отрезке [а, Ь] с выброшенной окрестностью точки с. Тогда 28