Математический анализ. Определенный интеграл и его приложения

>+00 . rOo sin X Пример 6. Исследовать на сходимость интеграл ^ dx. Замечание. В качестве ф(х) часто берут степенную функцию Ф(х) =^, Р > 0. Эта функция, очевидно, монотонно стремится к нулю при х i x \fx Решение : Рассмотрим функции (р (х) = •^ и \|/(х) = sin х. Первообразная функции \|/(х) ограничена гХ Ч ' ( х ) = 1 s i n ^ d ^ = — COSX + c o s 1, значит [Ч'Сх)! = I COSX I + I cos 11. Следовательно, по признаку Дирихле, интеграл г<х> sin X , L— а х сходится. *'1 л/х Докажем, что сходимость этого интеграла условная. Предположим противное: имеет место абсолютная сходимость, /•0 |sinx| , т.е. интеграл ^ а х сходится. Тогда по теореме 1, в силу неравенств О < (sinx)^ < | s i nx | , rco (sinx)2 тт г • л2 сходится также интеграл — а х Но ( s i n x j = 1. . rCOCOSZX, - — cos zxJ, a интеграл ^ ax, как можно доказать, сходит­ ся по признаку Дирихле. Значит, по свойству несобственного инте­ грала должен также сходиться интеграл > dx •\[х " *'1 л/х гоо x „ r °°(sinx)^ , rOOCOSlX , Получено противоречие: при p = 1/2 < 1 интеграл в левой части равенства должен расходиться. Сделанное предположение оказалось неверным. гОо | s i nx | , Интеграл ^ ах на самом деле расходится. 27