Математический анализ. Определенный интеграл и его приложения

Решение : 'sfx COS X Подынтегральная функция интервале [О, +оо] не со­ храняет знак, в то же время теоремы сравнения справедливы только для положительных функций. I 1 Vx | co s x | _ Рассмотрим функцию \j{,X)\ = ^2+^.00 Для нее справедливо неравенство I м Vxlcosxl ^ л/х ^ л/х 1 / .со 1 —3/- ах сходится (р= ^ X ' 2 3/2), то по теореме 1 сходится и интеграл Д | / ( x ) | dx , а значит, по гоо Vxco s x , теореме 2, интеграл х^+100 также сходится. На отрезке [0,1] функция f(x) непрерывна, следовательно, су- г1 yfxcosx , ществует конечный интеграл Таким образом, заданный интеграл г<^ Vxcosx , rlVxCOSX , r °°VxCOSX , L ax = \^— a x + L ax -'0 x^ + 100 •'0 x^ + 100 -'1 x^+100 СХОДИТСЯ. • Теоремы 1 - 3 дают возможность исследовать на сходимость несобственные интегралы от положительных функций или абсолют­ ную сходимость несобственных интегралов. Как быть с условной сходимостью? Приведем без доказательства признак сходимости, применимый и для неабсолютно сходящихся интегралов. Признак Дирихле. Пусть выполнены условия: 1) функция ф(х) монотонно стремится к нулю при X ^ +оо; 2) первообразная Ч'(х) = / ^ Ф( О ограничена. Тогда несобственный интеграл i/^(x)(p(x)dx сходится (во­ обще говоря, не абсолютно). 26