Математический анализ. Определенный интеграл и его приложения

j /{x)dx (TO вытекает расходимость интеграла J то есть интегралы ведут а себя одинаково относительно сходимости) . Теоремы 1 и 3 называют теоремами сравнения. Из этих теорем следует, что сходимость несобственного инте­ грала можно установить, не вычисляя его значения, а просто сравнив его с интегралом от уже исследованной функции. Для сравнения часто используют интеграл от степенной функ- гоо dx ции: J — , решение которого было рассмотрено ранее в примерах. С1 Пример 4. Исследовать на сходимость интеграл fOO , /о х 4- х 2+2 Решение : Подынтегральная функция положительна, а ее числитель и знаменатель - многочлены, причем степень числителя на два меньше степени знаменателя. Следовательно, сравнение удобно проводить с функцией Существует предел 1 ( —; ^ г : = Ит —; ^ = 1. х->оо х ^ —Х ^ + 2 Х ^ х - >о о х ^ —Х ^ + 2 (XX ^ — сходится ( р =2 > 1), то в силу теоремы 3 сходится и интеграл -^^- —^^dx.TdiK как на отрезке [0,1] подынтегральная функция непрерывна, то интеграл сходится г 1 JQ Д.4 х'^+2^^ является несобственным). Таким образом, fCO , сходится и исходный интеграл х^+2 ' Пример 5. Исследовать на сходимость интеграл dx. 25