Математический анализ. Определенный интеграл и его приложения

rc-(5i / f{x)dx = lim / ' f{x)dx + lim / f(x)dx. " O]^->0 " O2~^0 (3) Пример 1. Вычислить несобственный интеграл J_^ • dx - Vl-x^' Решение : Здесь особыми точками подынтегральной функ­ ции являются точки X = ±1. По формуле (3) имеем ri-S2 dx rl dx гО dx , г . I —т = lim , , I — T + lim L Vl-x2 l+l^l Vl-x2 -'C 0 Vl-x^ :• = lim (arcsinO — arcsin( —1 + (5i)) + lim ( a r c s i n ( l — (5^—>0 (52~^0 52) - arcsin 0) = - (^-1)+ 1 = 7Г. Интеграл сходится. Пример 2. Исследовать на сходимость несобственный инте- f 1 dx Jo Решение : Подынтегральная функция на отрезке [ОД] имеет одну особую точку X = 0. Случай 1. р ^ 1. По определению получаем г1 dx rl dx х^~Р, 1 S^~P 1 Jr, ~^= lim J с — = lim -—=•; lim - — = •;—, если p < *'0 xP S->0 " xP S->0 1-p 1-p S->0 1-p 1-p 1. При p > 1 данный предел равен +oo. Случай 2. p = 1. dx dx — = lim — = lim In 1x1 I = — lim In 5 = +00. Jq X 5—>0 j g X 5—>0 5—>0 Итак, ^ сходится при p < 1 и расходится при р > 1. Пример 3. Исследовать на сходимость интегралJ ^0 (х-1)2- 29