Математический анализ. Определенный интеграл и его приложения

Пусть задан ишегрш, \f(x)dx , где f(x) - непрерывная функ- а ция на отрезке [а, Ь]. Введем новую переменную в соответствии с формулой х = ф(1). Тогда если 1)ф(а) =а, ф(Р) = Ь 2) ф(1) и ф'(1) непрерывны на отрезке [а, Р] 3) f(ф(t)) определена на отрезке [а, р], то |/(х)й6с = j /[ф(0]ф а а Тогда f - F[(p{a)] = F{b) - F{a) a Пример 2. f I 2" rx = sin^; 1 I \\l -x ax = < >= Vl-sin tcostdt = J l a =0 ; ^ = ; r/2 j J 2 7 1 ''P /1 -.4 7 i f 1 • ^ ^ = COS tat = — {\ + cos,2t)at = —\ t+—s,m2t \\ = —h —sin^' = —. J 2 J 2 ^ 2 j ' o 4 4 4 При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к аб­ сурду. Пример 3. ^ 71 \dx = X I = 7Г, с другой стороны, если применить тригономет- 0 о рическую подстановку. 12