Математический анализ. Определенный интеграл и его приложения

л Обозначим 1 f {t)dt = Ф(х). Найдем производную функции а Ф(х) по переменному верхнему пределу х. ^y{t)dt = f{x) а Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела. Теорема. Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, Ь], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл. Теорема. (Теорема Ньютона - Лейбница) Если функция F(x) - какая- либо первообразная от непрерыв­ ной функции f(x), то ь I / {x)dx = F{b) - F(a) а это выражение известно под названием формулы Ньютона - Лейб­ ница. Доказательство: Пусть F(x) - первообразная функции f(x). Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция 1 f {t)dt - первообразная функция от f(x). Но т.к. функция может а иметь бесконечно много первообразных, которые будут отличаться друг от друга только на какое - то постоянное число С, то ]f{t)dt = F{x) + C при соответствующем выборе С это равенство справедливо для лю­ бого X, т.е. при X = а: 10