Математическая логика и теория алгоритмов. Для изучающих компьютерные науки

Структура ал­ гебры A=(U; , п, - алгебра подмножеств B=(V; —1, &, v}- алгебра множества А высказывании Основное мнои - множество подмножеств множеV- множество высказыва­ жество ства ^4 ний Выделенные элементы из 0 П- противоречие основного множества А Г-тавтология Операции ( ) - дополнение —1 - отрицание п - пересечение & - конъюнкция и- объединение \/ - дизъюнкция При указанном изоморфизме каждый элемент или операция, записанная в некоторой строке таблицы, для одной из алгебр переходит в соответствующий элемент или операцию, записанную в той же строке для другой алгебры. Легко показать, что существует изоморфизм между стандартной логикой Лукасевича Lj (с максиминными операциями) и алгеброй нечётких подмно­ жеств с операциями дополнения, пересечения и объединения, введёнными по (6.3), (6.4) и (6.5) соответственно. Стандартная логика Лукасевича Lj является лишь одной из возможных бесконечнозначных логик. Другие бесконечнозначные логики со значениями на [0,1] можно строить, например, вводя иначе, чем в Li операции. Для каждого частного случая такой бесконечнозначной логики можно ставить в соответст­ вие изоморфную алгебру нечетких подмножеств с новыми операциями. Таким образом, исследование бесконечнозначных логик равносильно исследованию нечетких подмножеств (алгебры нечетких подмножеств), и наоборот. Кроме того, для каждой многозначной логики можно ставить в соответст­ вие некоторую изоморфную алгебру нечетких подмножеств с некоторыми опе­ рациями. § 5. Обобщения логических операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и импликации Пусть L - множество значений истинности рассматриваемых высказыва­ ний нечеткой логики, L^[0,1], OG L и 1 G L. Логические операции можно ввести по правилам, отличным от ранее введенных. Отрицание можно задать как функцию т L^L удовлетворяющую на [0,1] трем условиям: «(0)=1, п{\)=0; если то п{Ь)<п{а). (6.13) Для обобщения конъюнкции и дизъюнкции вводят t - нормы и ? - конормы соответственно. 200