Математическая логика и теория алгоритмов. Для изучающих компьютерные науки

Рассмотрим пример. Пусть U = А={-2,Ъ\ тогда JUA(X) имеет вид, изображенный на рис. 6.1. Очевидны следующие свойства характеристических функций: 1) (А =В) тогда и только тогда, когда VX(/LIA(X) = /ИВ(Х)); 2) jUcA(x) = 1- IU A(X); \l, если хе An В, 3) Мапв(^) = \п ^ л D = min(iiA(x), 1Лв(х))\ [с/, если х € АглВ \1, еслихеАиВ, ^) МА ^ В ( Х ) = \. ^ „ =max (JUA (x), JUB(X)). [с/, если х^ Akj В 1 -2 0 3 Рис. 6.1 Отметим, что рассмотренная характеристическая функция принимает только два значения О или 1. Представим теперь, что характеристическая функ­ ция ju(x) может принимать любое значение в замкнутом интервале [0,1]. В соот­ ветствии с этим мера принадлежности х подмножеству А может быть любой из [ОД], т.е. X может быть элементом А более или менее, менее чем более и т.п. Таким образом, понятие принадлежности получает интересное обобщение. Да­ дим строгое определение. Пусть и - множество и х элемент U. Тогда нечетким подмножеством А* множества U называется множество упорядоченных пар: А''={(х, JUA ^(x))}, гдехе И, JUA ^( X ) е [0,1]; функцию liA '^ix) называют функцией принадлежности, а U- универсальным или базовым множеством. Рассмотрим множество людей различного возраста и попытаемся выделить подмножество молодых людей, т.е. задать функцию /и(х), 0</и(х)^. Ясно, что каждый может ввести свое понимание функции ^(х). Па рис. 6.2 приведены графики некоторых возможных таких функций JLI(X) ; при этом на оси Ох указаны возраст в годах, на Оу - значения функции /и(х). Па множестве (-оо^оо) можно ввести понятие действительных чисел, очень близких к нулю. Например, можно определить функцию принадлежности 193