Лекции учебной дисциплины "Алгебра и геометрия"

3) ( aj3)a = a((a) Теорема 6.1. о взаимной связи коллинеарных векторов (деление вектора на вектор). Если векторы a и b коллинеарны, то существует такое вещественное число а , что a = ab . Причем, если a и b направлены одинаково, то а > 0, в противном случае: а < 0. Понятие линейной зависимости векторов Линейной комбинацией векторов a 1 , a 2 ....a n называется сумма произведений этих векторов на некоторые вещественные числа а 1 ,а 2 ....а п , то есть выражение вида: aa + 0 ^ 2 +.... + a n a n (6.1) Векторы a 1 , a 2 ....a n называются линейно-зависимыми, если найдутся такие вещественные числа а 1 ,а 2 ....а п , не все равные нулю, что их линейная комбинация равна нулю: a 1 a 1 + a 2 a 2 +.... + a n a n = 0 (6.2) Векторы a 1 , a 2 ....a n называются линейно-независимыми, если их линейная комбинация равна нулю в единственном случае, когда а 1 = 0,а 2 = 0.... а п = 0 . Теорема 6.2. Если среди векторов a 1 , a 2 ....a n имеется один нулевой, то эти векторы будут линейно-зависимыми. Доказательство. Пусть вектор a 1 = 0 , тогда следующая линейная комбинация векторов a 1 , a 2 ....a n : 1 х a 1 + а 2 a 2 +.... + a n a n = 0. Отсюда следует, используя определение, что векторы a 1 , a 2 ....a n являются линейно-зависимыми. Векторы называются компланарными, если они расположены в одной плоскости либо в параллельных плоскостях. Теорема 6.3. Пусть даны два неколлинеарных вектора a и b . Любой компланарный с ними вектор c раскладывается в линейную комбинацию векторов a и b . Такое разложение единственно. Доказательство. Пусть векторы a и b отличны от нуля: a Ф 0, b Ф 0. 1) Рассмотрим случай, когда c коллинеарен a или b . Следовательно, c = aa или c = jjb . Тогда c = aa + 0b или c = 0a + J3b 2) Рассмотрим случай, когда c не коллинеарен a и b : OA = OQ+ OP A a О b P Причем OQ = aa , OP = (Jb . Тогда c = aa + JJb . 3