Комплексный анализ

где R - рациональная функция своих аргументов. Интегралы типа (1) легко могут быть сведены к интегралам от аналитической функции комплексной переменной по замкнутому контуру. Для этого сделаем замену переменной интегрирования, введя комплексную переменную z = e'^. Очевидно, в = --—; совв = -(е''+e-'')=-(z + -\, втв = —(z--\ i z 2^ ^ 2 ^ z j 2/\ z j При изменении ^ от О до 2ж комплексная переменная z пробегает замкнутый контур - окружность |z| = 1 в положительном направлении. Таким образом, интеграл (1) переходит в интеграл по замкнутому контуру от функции комплексной переменной: ' 11, Z =1 1 1 Z + —,z Z Z dz — . (2) z в силу общих свойств аналитических функций подынтегральная функция в (2), являющаяся, очевидно, рациональной функцией ~._4_ao+a,z + ...+ a „z" K+b,z + ... + b„z-' представляет собой функцию, аналитическую внутри круга |z| = 1 всюду, за исключением конечного N <т числа особых точек , являющихся нулями знаменателя (3), поэтому в силу основной теоремы вычетов / = 2^-^Bbw[^(z),zJ. (4) к=\ Точки ZK являются полюсами функции R{Z). Пусть А^- порядок N полюса (очевидно <т). Тогда на основании формулы (13) (лекция к=\ 15) выражение (4) можно переписать в виде: N 1 ^ OIK-\ г / = 2Л-^7 ^lim |(z-z^)"''i?(z)|. (5) 79