Комплексный анализ

2. Интегралы вида j f{x)dx. Рассмотрим применение теории вычетов к вычислению несобственных интегралов вида j f{x)dx. —со Л е м м а 1 . Пусть /(z) является аналитической в верхней полуплоскости ImZ > О всюду, за исключением конечного числа изолированных особых точек, и существуют такие положительные числа , М и J , что для всех точек верхней полуплоскости, удовлетворяющих условию |z| > , имеет место оценка т ^ \\ и (6) Тогда lim j f i Cy i C = О, (V) где контур интегрирования представляет собой полуокружность \z\ = R Imz > О в верхней полуокружности z . Рис. 1 Действительно, в силу того, что \f(()dc ds дифференциал длины дуги кривой С и условий леммы при R>R^ J / ( f K с'„ S \\Л(Щ с; < MTTR TIM R 1+5 R S - >0 . что и доказывает лемму. Теорема. Пусть функция /(z), заданная на всей действительной оси - о о < х < о о , может быть аналитически продолжена на верхнюю 80