Комплексный анализ

(^-^о)'"/(^) = с_„ + + +... (11) Взяв производную порядка (да-l) от обеих частей этого равенства и перейдя к пределу при z ^ , окончательно получим следующую формулу вычисления вычета в полюсе порядкат : Вьи [/ (z), Zo ] = -Д - р - lim [(z - Zo)" /(z)]. (12) Легко видеть, что формула (6) является частным случаем последней формулы. Ос н ОВН АЯ Т_ЕрРЕ^_Т ЕО PJIH ВЫЧ ^ ОВ Теорема. Пусть функция /(z) является аналитической всюду в замкнутой области D, за исключением конечного числа изолированных особых точек {к = l,...,N), лежащих внутри области D, тогда N j/(<r)/<r = 2OT^Bbw[/(z),zJ, (13) р+ к=1 где - полная граница области D, проходимая в положительном направлении. Доказательство. Напомним, что если /(z) аналитична в D, то все точки границы Г этой области суть правильные точки функции /(z). Выделим каждую из особых точек z^ функции /(z) замкнутым контуром , не содержащим внутри других особых точек, кроме z^. В замкнутой многосвязной области (рис. 1), ограниченной контуром Г и всеми контурами 7^, функция /(z) является всюду аналитической, поэтому по второй теореме Коши получим jf{C)dC + Zlf(C)dC = o (14) г+ к=1 у- ZN 77