Комплексный анализ

Для вычисления вычета функции /(z) в ее изолированной особой точке может быть применена формула (3) Вьи \ f {z\z^] = ^y{c)dC = c-i • (4) 2ж1 Рассмотрим несколько случаев вычисления вычетов. 1) Пусть точка является полюсом первого порядка функции /(z). Тогда в окрестности этой точки имеет место разложение f{z) = c_,{z-zy +Со +Ciz(z-Zo)+ ... (5) Умножив обе части (5) на ( z - z j и перейдя к пределу при z ^ z ^ , получим: С-1 =lim(z-Zo)/(z). (6) Заметим, что в данном случае функция /(z) в окрестности точки z^ может быть представлена в виде отношения двух аналитических функций: / « = ^ , (7) причем а точка z^ является нулем первого порядка функции \i/{z), т.е. ^(z) = (z-Zo)^'(^o) + ^^^-^(2-2o)'+•••, (8) Тогда из (5) - (8) получим следующую формулу вычисления вычета в полюсе первого порядка: Вьи [/(z), Zo ] = ,/ t ) = . (9) 2) Пусть точка z^ является полюсом порядка т функции /(z). Тогда в окрестности этой точки имеет место разложение = +---+ C-i{z-z^y +Со +Ciz(z-Zo)+ ... (1 0) Умножив обе части (10) на (z - zj ™, получим: 76