Комплексный анализ

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Общее преобразование w = az + b проводится с помощью трех простейших приведенных ранее выражений. 1 2. Функция W Соответствие, данное этой формулой, взаимнооднозначно во всех точках плоскости, причем нулевой точке z = О (или w= 0) соответствует бесконечно удаленная точка w = co (или z = oo). Для исследования отображения, которое дает эта функция, проще всего ввести полярные координаты, полагая z = re'^, w = ре^'. В данном случае будет: р = -, в = -(р. г (2) Опишем из нулевой точки как центра окружность С радиуса единицы. При преобразовании (2) эта окружность переходит сама в себя, а именно каждая ее точка преобразуется в симметричную точку относительно действительной оси. Преобразование (2) удобно разбить на два, более простых: , 1 , г =-, <р =<р, г (3) р = г',в = -(р'. (4) При первом из этих преобразований аргумент сохраняется, а модуль изменяется на обратный. Точка z, находящаяся внутри окружности С, преобразуется в точку w', находящуюся вне окружности и лежащую на продолжении отрезка Oz, причем произведение расстояний от точки О, отображенной и первоначальной точки равно единице. Такое отображение называется инверсией относительно окружности С. Точки z и w. 72