Комплексный анализ

переходящие одна в другую с помощью преобразования (1), называют взаимно-симметричными относительно окружности С. 4. Общая линейная функция. Рассмотрим функцию вида az + b >^' = — ( 5 ) CZ +а где а, й, с и - постоянные комплексные числа, такие, что ad-bc^O, так как в противном случае линейная функция (5) не зависела бы от z. Обратно Z можно выразить через w dw-b z = • -cw + d (6) Соответствие, данное функцией (5), будет, следовательно, взаимнооднозначным. Точке z = -— будет соответствовать бесконечно с удаленная точка плоскости W, а точке w = — будет соответствовать с бесконечно удаленная точка плоскости Z. Покажем, что преобразование (5) совершается при помощи ранее рассмотренных. Действительно, выполняя деление, получим: az + b а be-ad w = = —h • cz + d с c{cz + d) Введя новую переменную z' = c{cz + d), убеждаемся в доказываемом. Круговое свойство линейной функции Свойство состоит в следующем: если точка z описывает окружность, то точка W на плоскости W описывает тоже окружность или прямую линию; если точка z описывает прямую линию, то w описывает прямую или окружность. Считая прямую линию за окружность бесконечно большого радиуса, можно данное свойство сформулировать следующим образом: при линейном преобразовании окружность переходит в окружность. Контрольные вопросы 1. Определение конформного отображения 1 рода. 73