Комплексный анализ

w = az + b, (1) где a ж Ъ - некоторые постоянные комплексные числа {аФО). Очевидно, что отображение (1) будет конформным на всей комплексной плоскости Z (м;' = а о), и притом взаимно-однозначным. Рассмотрим частные случаи, причем z, w будем изображать точками на плоскости. а) w = z + b. При таком отображении точка z переносится в точку w в направлении вектора b на расстояние, равное его длине (рис. 1). Полагая w= u + iv, z = x + iy, b = b^+b^i, запишем преобразование w = z + b в виде двух формул: и = х + Ь^, v = y + b^. Два последних равенства представляют собой известные формулы параллельного переноса координат. б) w = e"'z. В таком случае имеем: H= |z|, argw = argz + a, т.е. точка z переходит в точку w при помощи поворота вектора z около нулевой точки на угол а (рис. 2). Таким образом, преобразование w = e"'z есть не что иное, как вращение около начала координат на угол а. Кроме того, преобразование w = e"'z можно записать в виде W = u + iv = {x + iy\cosa+ isina). Откуда находим: и = xcosa - ysina, v = xsma + ycosa. Два последних равенства являются известными формулами поворота осей координат. в) w= rz, где Z - действительное положительное постоянное число. В данном случае имеем |i4'| = r|z|, argw = argz, т.е. точка z преобразуется в точку, лежащую на прямой OZ на расстоянии от точки О, равном г раз взятому расстоянию точки z (рис. 3). Это - так называемое преобразование подобия с центром подобия в точке О с коэффициентом подобия г . 71