Комплексный анализ

Эти условия являются также и необходимыми, что становится очевидным из следующей теоремы, которую примем без доказательства. Теорема. Пусть функция /(z) осуществляет конформное отображение области D комплексной плоскости Z на область G комплексной плоскости W и ограничена в области D. Тогда функция /(z) является однолистной и аналитической в области D, причем f'{z)^0 во всех точках области D. Итак, конформное отображение области D комплексной плоскости Z на область G комплексной плоскости W осуществляется только однолистными аналитическими функциями комплексной переменной с производной, отличной от нуля во всех точках области D. Основные нринцины конформного отображения Сформулируем принципы конформного отображения в виде теорем без доказательства. а) Взаимнооднозначное соответствие. Теорема. Пусть функция /(z) является однозначной аналитической функцией в области Z), осуществляющей взаимно-однозначное отображение области D на область G комплексной плоскости W . Тогда это отображение является конформным. б) Принцип соответствия границ. Теорема. Пусть в конечной области Z), ограниченной контуром у, задана однозначная аналитическая функция /(z), непрерывная в Z) и осуществляющая взаимно-однозначное отображение контура у на некоторый контур Г комплексной плоскости W. Тогда, если при данном отображении контуров сохраняется направление обхода, то функция /(z) осуществляет конформное отображение области D на внутреннюю область G, ограниченную контуром Г. 69