Комплексный анализ

Лекция 8 К О Н Ф О Р М Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я Р БЩ ^ВрЙс ТВА Взаимно-однозначное отображение области D комплексной плоскости Z на область G комплексной плоскости W называется конформным, если это отображение во всех точках z области D обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжения. Если при этом сохраняются не только абсолютные величины углов, но и направление углов, то отображение называется конформным отображением первого рода. Отображение, при котором сохраняются абсолютные величины углов между кривыми и их образами, но направление углов меняется на противоположное, называется конформным отображением второго рода. Определение. Однозначная функция - функция, принимающая только одно значение для каждого значения аргумента. Теорема. Пусть функция /(z) является однозначной и однолистной аналитической функцией в области D и производная этой функции не равна нулю ни в одной точке области D, тогда f{z) осуществляет конформное отображение области D на область G - область значений функции. Доказательство. В силу условия теоремы (/(z) аналитическая и f'{z)^0) МОЖНО утверждать, что в каждой точке области D функция обладает двумя свойствами: свойством сохранения углов и свойством постоянного растяжения. Следовательно, имеем конформное отображение. Теорема доказана. Условия аналитичности, однолистности и отличия от нуля производной функции комплексной переменной являются достаточными условиями конформности отображения, осуществляемого этой функцией. 68