Комплексный анализ

причем |Со|<оо. Если функция /(z) не была определена в точке то ее можно доопределить, положив /{г) = С^. Так, определенная функция /(z) будет аналитическая всюду внутри круга \z-z^\<R^^ тем самым разрыв функции /(z) в точке z^ удается устранить. Во втором случае точка z^ называется полюсом т-го порядка f{z). В этом случае существует предельное значение функции /(z) в точке z^, и оно равно 00, т.е. при модуль функции неограниченно возрастает независимо от способа стремления z к z^. В третьем случае точка z^ называется существенно особой точкой функции /(z). Поведение функции /(z) в окрестности существенно особой точки описывается теоремой Сохацкого - Вейерштрасса. Теорема Сохацкого - Вейерштрасса. Каково бы ни было ^ > о, в любой окрестности существенно особой точки z^ функции /(z) найдется хотя бы одна точка Zj, в которой значение функции /(z) отличается от произвольно заданного комплексного числа В меньше, чем на s . Доказательство. Предположим, что теорема неверна, т.е. при заданном s>0 и заданном комплексном числе В найдется такое j]q>0, ЧТО во всех точках z из -окрестности точки z^ значение функции /(z) будет отличаться от В больше, чем на s : |/(z)-5|>e, V|z-Zo|<77o. (7) Рассмотрим вспомогательную функцию i//(z) = В силу (7) функция y/{z) определена и ограничена в -окрестности точки Z q . Используем следующую теорему без доказательства. Теорема. Если функция /(z) является аналитической в круговом кольце О < |z - Zg I < i?i и ограниченной в этом круговом кольце 65