Комплексный анализ

тогда точка является устранимой особой точкой функции /(z). По ранее записанной теореме можно утверждать, что ZQ является устранимой особой точкой функции y/{z). Это означает, что разложение функции y/{z) в окрестности точки z^ имеет вид i//(z)=(z-z0)'"-^(z), ^ ( z j ^ o . Тогда в силу определения функции ^(z) в данной окрестности точки Z q имеет место следующее разложение функции /(z): f{z) = {z-z^Y •(p{z) + B, ( 8 ) где аналитическая функция (p{z) = ограничена ^ rj^- окрестности точки (p{z) Z q . Но разложение (8) означает, что точка z^ является или полюсом порядка т, или при т = 0 правильной точкой функции /(z), и разложение в ряд Лорана последней должно содержать лить конечное число членов, что противоречит условию теоремы. Полученное противоречие и доказывает теорему Сохацкого - Вейерштрасса. Теорема Сохацкого - Вейерштрасса дает следующую характеристику поведения аналитической функции /(z) в окрестностях существенно особой точки: в существенно особой точке не существует конечного или бесконечного предельного значения аналитической функции. В зависимости от выбора последовательности точек, сходящейся к z^, можно получить последовательности значений функции, сходящиеся к различным пределам. При этом всегда можно выбрать последовательность, сходящуюся к любому наперед заданному комплексному числу, включая и 00 . Контрольные вопросы 1. Ряд Лорана в общем виде. 2. Суммой каких двух рядов представляется ряд Лорана? 66