Комплексный анализ

Возвращаясь к старым переменным и полагая <p(c(z))= /2(2), получим со 1 /2(^)= Z'^- «7 (5) „=\ yz Z q j Отсюда следует, что областью сходимости второго слагаемого из формулы (2) является область, внешняя к окружности \z-z^\ = R^ (так же, как и , значение может, в частности, равняться нулю или бесконечности). Итак, каждый из степенных рядов правой части (2) сходится в своей области сходимости к соответствующей аналитической функции. Если , то существует общая область сходимости этих рядов - круговое кольцо <\z-z^\<R^, в котором ряд (1) сходится к аналитической функции со /(^)=/l(^)+/2(^)= , ^2 <к-^о|<^1- (6) Так как ряды (3) и (4) являются обычными степенными рядами, то в указанной области функция /(z) обладает всеми свойствами суммы степенного ряда. Это означает, что ряд Лорана (1) сходится внутри своего кольца сходимости к некоторой функции /(z), аналитической в данном кольце. Если R^>R^, то ряды (3) и (5) общей области сходимости не имеют. Тем самым в этом случае ряд (1) нигде не сходится к какой-либо функции. Теперь естественно поставить вопрос: можно ли функции, аналитической в некотором круговом кольце, сопоставить ряд Лорана, сходящийся к этой функции в данном кольце? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Теорема. Функция /(z), аналитическая в круговом кольце R^ <\z-z^\<R^, однозначно представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана. 63