Комплексный анализ

Лекция 7 Л OP АНА Область сходимости ряда Лорана Рассмотрим степенной ряд следующего вида со (1) П=-'Х) где Z q - фиксированная точка комплексной плоскости; С„ - некоторые комплексные числа, а суммирование ведется как по положительным, так и по отрицательным значениям индекса п. Ряд (1) носит название ряда Лорана. Встает вопрос об области сходимости этого ряда. Для этого представим ряд в следующем виде: со со со 1 (2) п=^х) п=0 п=1 ^0/ Очевидно, областью сходимости ряда (1) является общая часть области сходимости каждого из слагаемых правой части (2). Областью сходимости первого слагаемого является круг с центром в точке некоторого радиуса . Внутри круга сходимости этот ряд сходится к некоторой аналитической функции комплексной переменной (z): со к-^о|<^1- (3) и=0 Рассмотрим второе слагаемое. Сделаем замену переменной, положив — — = С • Тогда этот ряд примет вид Z - Z Q со 1 со 1 с „ - ^ = (4) п=\ ^О / таким образом, представляя собой обычный степенной ряд, который со сходится к некоторой аналитической функции = внутри круга п=\ 1^1 1 сходимости радиуса \С\<— . Ri 62