Комплексный анализ

По условию теоремы, число q = < 1. Ряд ^ q " , представляющий собой сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем, меньшим единицы, сходится. Тогда из формулы (1) следует сходимость и рассматриваемого ряда. Чтобы доказать равномерную сходимость ряда со ^ с„ (z - Z q )" в круге |z - Zg I < р < |zj - Zg I, достаточно в силу признака и=0 Вейерштрасса построить сходящийся числовой ряд, мажорирующий данный функциональный ряд в рассматриваемой области. Очевидно, таковым является ряд М т а к ж е представляющий собой сумму п=0 \Z -i — ZF) £ _ -1 ~ -^01 бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем, меньшим единицы. Теорема полностью доказана. Ряд Тейлора. Итак, степенной ряд внутри круга сходимости определяет некоторую аналитическую функцию. Естественно поставить вопрос: можно ли функции, аналитической внутри некоторого круга, сопоставить степенной ряд, сходящийся в этом круге к данной функции. Ответ на это вопрос дает следующая теорема. Теорема Тейлора. Функция /(z), аналитическая внутри круга |z - Zg I < i?, может быть представлена в виде Z Zo р степенного ряда ^c „(z-Zo)" сходящегося внутри этого и=0 1 круга к функции /(z), причем это представление однозначно. Доказательство. Выберем произвольную точку z из круга \z-z^\<R и построим окружность С р с центром в точке радиуса p<R, содержащую точку Z внутри. Очевидно, для любой точки Z данной области такое 58