Комплексный анализ

С ТЩЕНН ^ ЫЕ _ Р Я ДЫ При рассмотрении функциональных рядов (3) в предыдущем параграфе, вид функций u^{z) не конкретизировался. Очень важными являются так называемые степенные ряды, для которых w „(z) = c„ ( z -Zo) " , где - некоторые комплексные числа, а - фиксированная точка комплексной плоскости, т.е. ряды вида: со и = 0 Члены степенного ряда являются аналитическими функциями на всей комплексной плоскости, поэтому для исследования свойств данного ряда могут быть применены теоремы предыдущего параграфа. Для определения сходимости степенного ряда существенной оказывается следующая теорема. со Теорема Абеля. Если степенной ряд ^ (z - z^)" сходится в некоторой и=0 точке Zj Z q , то он абсолютно сходится и в любой точке z, удовлетворяющей условию |z - z, | < |zi - z, |, причем в круге \z-z^< р радиуса р , меньшего |zi - z^l, ряд сходится равномерно. Доказательство. Выберем произвольную точку z, удовлетворяющую со условию |z - Zq I < |zi - Zq I, И рассмотрим ряд ^ (z - ZG)". Обозначим и=0 | z - Z o | =^ | z i - Z o | , q<\. в силу необходимого условия сходимости ряда со ^c „(z-Zo)" его члены стремятся к нулю при п^со. Следовательно, и=0 существует такая константа М, что \c^\-\z^-z,\" <М. Отсюда для коэффициентов данного степенного ряда получим оценку |с„ | <— ^ . К -^оГ Тогда: 57