Комплексный анализ

D' и содержащий точку внутри. Минимальное расстояние от точки до контура С обозначим через d. Рассмотрим ряд • Так \^ ~ ^о) " = 1 \^ ~ ^о) как mmlz-zJ =й?>О, то ЭТОТ ряд в силу условий теоремы сходится zgC ' ' равномерно на С, поэтому, проинтегрировав его почленно по контуру С и воспользовавшись выражением производной аналитической функции через со интеграл Коши, получим Так как - произвольная и=1 точка области D, то утверждение 2) доказано. 3) Рассмотрим произвольную подобласть D' области D и построим в области D замкнутый контур С, содержащий D ' внутри, причем так, чтобы расстояние от произвольной точки GD' ДО любой точки ^ G С было не меньше некоторого положительного числа d, \z-C\>d >0. Очевидно, для любой подобласти D' области D найдутся соответствующие контур С и число (i. Так как r „(z) является аналитической функцией в Z), то для любой точки zeD' имеет место соотношение f , , dC = причем согласно только что доказанному утверждению представляет собой со остаток ряда В силу равномерной сходимости исходного ряда И=1 со ^M „(z) для любого s>0 можно указать такое N , что на контуре С при n>N n=l имеет место равномерная оценка , где L - длина контура С. k ! L Тогда < — f dC <s для всех zeZ)' одновременно, что и I I 2л" •' I -I ^ 'с \С - z\ доказывает утверждение. Приведенное доказательство относится к односвязной области D. Случай многосвязной области рассматривается аналогично. 56