Комплексный анализ

со СХОДИТСЯ равномерно в любой замкнутой подобласти D' области п=\ D. Доказательство. Проведем доказательство каждого из перечисленных утверждений. 1) Рассмотрим произвольную внутреннюю точку Z q g Z ) и построим односвязную подобласть D' области D , содержащую точку внутри. со Теорема. Если функции M „(Z) непрерывны в области D, а ряд и=1 сходится в этой области равномерно к функции /(z), то /(z) также непрерывна в области D. (Без доказательства) В силу приведенной теоремы функция /(z) также непрерывна в области D. Рассмотрим интеграл от /(z) по произвольному замкнутому контуру, целиком лежащему в области D'. По теореме 5 этот интеграл можно вычислить почленным интегрированием ряда (3). Тогда в силу аналитичности функции (z) получим со с "=1с Тем самым выполнены все условия теоремы Морера. Следовательно, /(z) - функция аналитическая в окрестности D' точки z^. В силу произвольности выбора точки z^ следует, что функция /(z) аналитическая в области D . Заметим, что для любого натурального числа п функция со п Гп (^)= Е ^J (^)=/(^)- Е ^J (^)' j=n+l j=l представляющая собой сумму конечного числа аналитических функций, также является аналитической функцией в области D. 2) Фиксируем произвольную точку z^ g Z) и выберем произвольный замкнутый контур С, целиком лежащий в построенной ранее подобласти 55