Комплексный анализ

в силу данных определений в этом случае для любой фиксированной точки Zq G Z) и любого заданного положительного s можно указать такой номер N, что при n>N{s,z). к=\ Заметим, что в общем случае N зависит от г и от z . Определение. Если для любого положительного числа s можно указать такой номер N{S), ЧТО при n>N{s) неравенство к=\ < S выполняется сразу для всех точек GZ), то ряд (3) называется равномерно сходящимся в области D . Признак Вейерштрасса. Если всюду в области D члены функционального ряда (3) могут быть мажорированы членами абсолютно сходящегося числового ряда, то ряд (2.3) сходится равномерно в области D со со со KM^KI ^ -Z K W - к=п+\ к=п+\ к=п+\ Теорема 5. Если ряд (3) непрерывных функций u^{z) сходится равномерно в области D к функции /(z), то интеграл от этой функции по любой кусочно-гладкой кривой С, целиком лежащей в области D, можно вычислить почленным интегрированием ряда (3), т.е. со с "=1с Без доказательства. Теорема Вейерштрасса. Пусть функции M „(Z) ЯВЛЯЮТСЯ со аналитическими в области D, а ряд ^ (z) сходится равномерно в любой п=\ замкнутой подобласти D' области D к функции /(z). Тогда: 1) /(z) со является аналитической функцией в области Z); 2 ) /'^^(Z) = 3 ) ряд п=\ 54