Комплексный анализ

Лекция 6 РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЧИСЛ_ОВЫЕ РЯДЫ Начнем с рассмотрения некоторых общих свойств числовых рядов с комплексными членами, т.е. выражения вида ' (1) к=\ где {а^} - заданная числовая последовательность с комплексными членами. Определение. Ряд (1) называется сходящимся, если сходится п последовательность {5'„} его частичных сумм . к=\ При этом предел S последовательности {S' „} называется суммой ряда со (1). Ряд называется п-ш остатком ряда (1). Для сходящегося ряда к=п+\ S = S „+r^, где - остаток ряда, и для любого ^ > О можно указать такой номер N , что (г„)< £ г при n>N. Из определения сходящегося ряда следует, что необходимым и достаточным признаком его сходимости является критерий Коши, а именно, ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда для любого £ >0 можно указать такой номер N, что п+р к=п < S при n>N и любом натуральном р. Необходимым условием сходимости ряда (1) является требование lima „ =0. Действительно, из сходимости ряда (1) в силу критерия Коши следует, что для любого s>0 можно указать такой номер N , что = при n>N. Если сходится ряд с действительными положительными членами 52