Комплексный анализ

f'{z)- ^ г dC причем интегрирование будем вести по окружности некоторого радиуса R с центром в точке z, т.е. \t^-z\ = R. По условию теоремы существует такая константа М , что |/(z)| < М независимо от R , поэтому Так как радиус R можно выбрать сколь угодно большим, а f{z) не зависит от R, то |/'(z)| = 0. В силу произвольности выбора точки z заключаем, что |/'(^)| = о на всей комплексной плоскости. Отсюда следует, что f{z)= const. Контрольные вопросы 1. При каких условиях имеет место равенство F'{z) = j dC? с 2. При каких условиях функция комплексной переменной имеет производные всех порядков? 3. Следует ли из существования производной 1-го порядка существование производных высших порядков? 4. Формулировка теоремы Морера. 5. Какими свойствами обладает функция /(z), если j f{^)d^ = 0? С 6. Формулировка теоремы Лиувилля. 7. Чему равна функция /(z), если /(z) - аналитическая функция и |/(z)| <М на всей комплексной плоскости? 8. К какой теореме обратной является теорема Морера? 9. Каким свойством обладает интеграл, зависящий от параметра? 10.Записать формулу для вычисления производной л-го порядка функции комплексной переменной 51