Комплексный анализ

целиком принадлежащему D, равен нулю. Тогда функция /(z) является аналитической функцией в области D. Доказательство. Для доказательства этой теоремы необходима еще одна теорема (без доказательства). Теорема. Пусть функция /(z) определена и непрерывна в некоторой односвязной области D, а интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру Г, целиком лежащему в данной области, равен нулю. 2 Тогда функция O(z)= (z ,Zo g D) является аналитической в области ^0 D И0'(z) = /(z). Тогда при выполнении условий теоремы Морера ^0 где Z q , Z - произвольные точки области D, а интеграл берется по любому пути, соединяющему эти точки в области Z), функция F{Z) является аналитической в этой области функцией, причем F'{z) = f{z). Но, как только что было установлено, производная аналитической функции также является аналитической функцией, т.е. существует непрерывная производная функции F'{z), а именно функция F"{z) = f'{z), что и доказывает теорему. Заметим, что эта теорема в определенном смысле является обратной по отношению к теореме Коши. Ее легко обобщить на многосвязной области. Теорема Лиуеилля. Пусть на всей комплексной плоскости функция /(z) является аналитической, а ее модуль равномерно ограничен. Тогда эта функция /(z) тождественно равна постоянной (const). Доказательство. Запишем значение производной /'(z) в произвольной точке Z по формуле (4): 50