Комплексный анализ

Интеграл (4) опять является интегралом, зависящим от параметра, причем его подынтегральная функция обладает теми же свойствами, что и подынтегральная функция интеграла (3). Следовательно, /'(z) является аналитической функцией z в области D', причем для ее производной справедлива формула (5) Так как для любой внутренней точки z области D может быть построена соответствующая замкнутая подобласть /)', то формулы (4) и (5) справедливы в любой точке z. Имеет место и более общая теорема. Теорема. Пусть функция /(z) является аналитической в области D и непрерывной в замкнутой области D'. Тогда во внутренних точках области D существует производная любого порядка функции /(z), причем для любого порядка функции /(z) имеет место формула Для доказательства этой теоремы достаточно повторить предыдущие рассуждения соответствующее число раз. Итак, если функция /(z) является аналитической функцией в области Z), то в этой области функция /(z) обладает непрерывными производными всех порядков. Это свойство аналитической функции комплексной переменной существенным образом отличает ее от функции действительной переменной, имеющей непрерывную производную в некоторой области. В последнем случае из существования первой производной не следует существования производных высших порядков. Рассмотрим ряд важнейших следствий установленного свойства аналитической функции комплексной переменной. Теорема Морера. Пусть функция /(z) является непрерывной в односвязной области D и интеграл от /(z) по любому замкнутому контуру, 49