Комплексный анализ

Заметим, что = К у) + >') = j - ^ . d r i + /• j - v / r i = ^ с с с Отсюда следует возможность вычисления производной от интеграла дифференцированием подынтегральной функции по параметру. При этом если — удовлетворяет тем же условиям а) и б), что и то F'{z) также dz является аналитической функцией в области D. СУЩЕСТВО^ВАНИ^ПР оизводньо^_вь1Сщих ПОРЯД 1 ЮВ у AHA^HTH4ECK(mj^HKyHH Рассмотренное свойство интегралов, зависящих от параметров, позволяет сформулировать важные характеристики аналитической функции. Как доказано, значение функции /(z), аналитической в некоторой области D, ограниченной контуром Г и непрерывной в замкнутой области D, во внутренних точках этой области может быть выражено через граничные значения с помощью интеграла Копти: (3) ZTVr ^ - z Рассмотрим в области D некоторую замкнутую подобласть D' такую, что расстояние от всех точек области D' до границы Г области D больше некоторого положительного числа d ^z-C\>d>6). Функция (p{z,<^)= ^ ' С является аналитической функцией z в области D', причем ее частная производная — = в этой области является непрерывной функцией СВОИХ аргументов. Тем самым в силу общих свойств интегралов, зависящих от параметра, во внутренних точках области D' производная /'(z) может быть представлена в виде (4) 2ж1 J {С - г) 48